Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²-3x，x∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥ax恒成立，等價(jià)于x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³-3x，
f′（x）=3x²-3，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞），f（x）的遞減區(qū)間為（-1，1），
x=-1時(shí)，f（x）取極大值f（-1）=2；
x=1時(shí)，f（x）取極小值為f（1）=-2．
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥ax恒成立，
等價(jià)于x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=x²-2ax-（a+3），
因?yàn)椤?（-2a）²+4（a+3）=4（a+

1

2

）²+11＞0，
故x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，
等價(jià)于a＜0，且g（0）≥0，
解得a≤-3，
∴a的取值范圍是（-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)極值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．