Question

已知

m

=（cosx，-1），

n

=（1，-cos（x+

π

3

）），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c已知f（A）=

3

2

，b=

3

a，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用正弦定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角形的內(nèi)角和定理即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=cosx+cos(x+

π

3

)
=

3

2

cosx-

3

2

sinx
=

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)
=-

3

sin(x-

π

3

)．
由

π

2

+2kπ≤x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ解得2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為{x|2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

（k∈Z）}．
（2）∵f（A）=

3

2

，∴sin(A-

π

3

)=-

1

2

，解得A=

π

6

．
∵

a

sinA

=

b

sinB

，b=

3

a，∴sinB=

3

2

，∵B∈(0，

5π

6

)．
∴B=

π

3

，C=

π

2

，或B=

2π

3

，C=

π

6

．
∴△ABC為直角三角形或等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．