Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+13，且|x-m|＜1，求證：|f（x）-f（m）|＜2（|m|+1）．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：利用已知條件化簡所證明的不等式的左側(cè)，分解因式化為乘積的形式，利用|x-m|＜1放大左側(cè)，然后利用絕對值三角不等式證明即可．

解答： （本小題滿分10分）
證明：|f（x）-f（m）|=|（x²-m²）-（x-m）|=|（x-m）（x+m-1）|，…（3分）
∵|x-m|＜1，
∴|（x-m）（x+m-1）|＜|x+m-1|≤|（x-m）+（2m-1）|≤|x-m|+|2m-1|＜1+|2m-1|＜1+|2m|+|1|
=2（|m|+1），
即|f（x）-f（m）|＜2（|m|+1）．…（10分）

點評：本題考查不等式的證明，放縮法以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．