Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意的x∈R滿足2^xf′（x）-2^xf（x）ln2＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（　�。�

• A、2f（-2）＜f（-1）
• B、2f（1）＞f（2）
• C、4f（-2）＞f（0）
• D、2f（0）＞f（1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

2x

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

2x

，
則g′（x）=

2xf′(x)-2xln2f(x)

(2x)2

，
∵x∈R滿足2^xf′（x）-2^xf（x）ln2＞0，
∴g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，
則g（-2）＜g（-1），g（1）＜g（2），g（-2）＜g（0），g（0）＜g（1），
即

f(-2)

2-2

＜

f(-1)

2-1

，

f(1)

2

＜

f(2)

22

，

f(-2)

2-2

＜

f(0)

20

，

f(0)

20

＜

f(1)

2

，
即2f（-2）＜f（-1），2f（1）＜f（2），4f（-2）＜f（0），2f（0）＜f（1），
故A正確．
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．