Question

已知二次函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2，且f（x）最小值是-1，函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（Ⅰ）求f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）滿足h（x+2）=h（x），且0≤x≤2時(shí)，h（x）=g（x），若方程h（x）=1的所有正根從小到大依次排列所得數(shù)列記為{x_n}，求數(shù)列{x_n}的前10項(xiàng)和S₁₀．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）依題意，設(shè)f（x）=ax（x+2）=ax²+2x（a＞0），通過對稱軸求出a的值即可，通過對稱性對稱g（x）的表達(dá)式；
（II）由h（x+2）=h（x）得函數(shù)h（x）是以2為周期的周期函數(shù)，通過討論x的范圍，得到數(shù)列{x_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而解決問題．

解答： 解：（I）依題意，設(shè)f（x）=ax（x+2）=ax²+2x（a＞0）．…（1分）
∵f（x）圖象的對稱軸是x=-1，
∴f（-1）=-1，即a-2=-1，得a=1．…（3分）
∴f（x）=x²+2x．…（4分）
又∵函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴g（x）=-f（-x）=-x²+2x．…（6分）
（II）由h（x+2）=h（x）得函數(shù)h（x）是以2為周期的周期函數(shù)，…（7分）
又0≤x≤2時(shí)，h（x）=g（x）=-x²+2x，
故0≤x≤2時(shí)，h（x）=1的根為x₁=1，…（9分）
類似的x₂=3，x₃=5，
所以數(shù)列{x_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，…（11分）
從而S10=10×1+

10×9

2

×2=100…（13分）

點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查了數(shù)列求和問題，是一道中檔題．