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已知函數f（x）=
x+1-a
a-x
（a∈R且x≠a）．
（1）求證：f（x）+f（2a-x）+2=0對定義域內的所有x都成立；
（2）若函數f（x）=
x+1-a
a-x
（a∈R且x≠a）圖象的對稱中心是（3，b），求a+b的值．
（3）當f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求證：f（x）的值域為[-3，-2]．
考點：函數的值域,函數的定義域及其求法,函數的圖象與圖象變化
專題：計算題,函數的性質及應用
分析：（1）化簡f（x）+f（2a-x）+2=
x+1-a
a-x
+
(2a-x)+1-a
a-(2a-x)
+2=
2x-2a
a-x
+2=0；
（2）由題意f（x）+f（6-x）-2b=0，化簡可得2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a2b=0，從而求a+b；
（3）由分離常數法求函數的值域．
解答： 解：（1）證明：f（x）+f（2a-x）+2=
x+1-a
a-x
+
(2a-x)+1-a
a-(2a-x)
+2，
=
2x-2a
a-x
+2=-2+2=0；
（2）∵函數f（x）=
x+1-a
a-x
（a∈R且x≠a）圖象的對稱中心是（3，b），
∴f（x）+f（6-x）-2b=0，
即
x+1-a
a-x
+
6-x+1-a
a-(6-x)
-2b=0，
（x+1-a）（a-6+x）+（7-a-x）（a-x）-2b（a-x）（a-6+x）=0，
即2+2b=0，（1-a）（a-6）+a（7-a）-2a2b=0，
即b=-1，a=
3
7
，
則a+b=-
4
7
，
（3）證明：f（x）=
x+1-a
a-x
=-1+
1
a-x
，
∵f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]，
∴-1≤a-x≤-
1
2
，
∴-2≤
1
a-x
≤-1，
∴-3≤-1+
1
a-x
≤-2，
即f（x）的值域為[-3，-2]．
點評：本題考查了函數的值域的求法及函數的對稱性的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知角α∈（
π
4
，
π
2
），且（4cosα-3sinα）（2cosα-3sinα）=0．
（1）求tan（α+
π
4
）的值；
（2）求cos（
π
3
-2α）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
①如果m∥α，n?α，那么m∥n；
②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；
③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；
④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．
其中正確的命題是（　　）
A、①B、②C、③D、④

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知(
2
)a＞(
2
)b，則a，b的大小關系是（　�。�
A、1＞a＞b＞0
B、a＜b
C、a＞b
D、1＞a＞b＞0

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，則不等式f（x）＞f（8x-16）的解集是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）有兩個零點0和-2，且f（x）最小值是-1，函數g（x）與f（x）的圖象關于原點對稱．
（Ⅰ）求f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）滿足h（x+2）=h（x），且0≤x≤2時，h（x）=g（x），若方程h（x）=1的所有正根從小到大依次排列所得數列記為{xn}，求數列{xn}的前10項和S10．

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科目：高中數學 來源： 題型：

經過平面外一點可以作
 
個平面平行于這個平面；可以作
 
條直線平行于這個平面．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}，a∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是從定義域A到值域B的一個函數，求a，k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知α為第三象限角，且f（α）=
sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+
3π
2
)
cot(-α-π)sin(-π-α)
．
（1）化簡f（α）；
（2）若cos（α-
3π
2
）=
1
5
，求f（α）的值；
（3）若α=-1860°，求f（α）的值．

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