【題目】如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,,.

(Ⅰ)求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值;

(Ⅱ)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線所成角最小時(shí),求線段的長(zhǎng)度.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)分別以,,,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.利用平面和平面的法向量,計(jì)算出平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.

(Ⅱ)利用向量共線得到的坐標(biāo).利用向量法求得直線所成角為的余弦值的平方的表達(dá)式,還原后利用配方法求得的最大值,即求得的最大值,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,此時(shí)直線所成角最小.根據(jù)最值成立的條件,求得線段的長(zhǎng)度.

(Ⅰ)分別以,,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

,,,

,

取平面的法向量,設(shè)平面的法向量為

,,即,解得,取,則.

設(shè)平面與平面所成二面角(銳角)為

.

(Ⅱ)設(shè)(其中),

,設(shè)當(dāng)直線所成角為,則

,

,則,

當(dāng),即,時(shí),取得最大值,最大值為,此時(shí)取得最大值.

由余弦函數(shù)單調(diào)性可知,此時(shí)銳角取得最小值,且.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是,點(diǎn)軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn),橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是,且.

(1)求橢圓的方程;

(2)直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓面積的最大值.

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【題目】已知函數(shù)

1)若為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;

2)若函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

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【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說(shuō)明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過(guò)

不超過(guò)

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某公司新上一條生產(chǎn)線,為保證新的生產(chǎn)線正常工作,需對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行檢測(cè),現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,測(cè)量產(chǎn)品數(shù)據(jù),用統(tǒng)計(jì)方法得到樣本的平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,以頻率值作為概率估值。

(1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件,記其數(shù)據(jù)為,依據(jù)以下不等式評(píng)判(表示對(duì)應(yīng)事件的概率)

評(píng)判規(guī)則為:若至少滿足以上兩個(gè)不等式,則生產(chǎn)狀況為優(yōu),無(wú)需檢修;否則需檢修生產(chǎn)線,試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修;

(2)將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品,從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件,次品數(shù)記為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知某產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系如下表:

(單位:萬(wàn)元)

0

1

2

3

4

(單位:萬(wàn)元)

10

15

30

35

若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得對(duì)的回歸直線方程為,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

A.產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)用成正相關(guān)

B.該回歸直線過(guò)點(diǎn)

C.當(dāng)廣告費(fèi)用為10萬(wàn)元時(shí),銷售額一定為74萬(wàn)元

D.的值是20

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】6名黨員干部分配到4個(gè)貧困村駐村扶貧,每個(gè)貧困村至少分配1名黨員干部,則不同的分配方案共有(

A.2640B.4800C.1560D.7200

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】巳知函數(shù),其中.

(1)是函數(shù)的極值點(diǎn),求的值;

(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;

(3),求證:.

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