Question

14．在△ABC中，D、E是BC邊上兩點(diǎn)，BD、BA、BC構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，則三角形ADE的面積為（　　）

• A． 31.2
• B． 32.4
• C． 33.6
• D． 34.8

Answer 1

分析 由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得：BD=6，AB=12，AE=9，設(shè)∠BAD=α，則∠AEB=2α，在△ABE中，由正弦定理可得：sinB=$\frac{3}{4}$sin2α，在△ABD中，由正弦定理可得AD=$\frac{6sinB}{sinα}$=9cosα，進(jìn)而利用余弦定理可cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式計(jì)算可得sinα，sin2α，cos2α，可求AD=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，則在△ADE中，由余弦定理可得DE的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：由題意可得：BD=6，AB=12，AE=9，設(shè)∠BAD=α，則∠AEB=2α，
∵在△ABE中，由正弦定理可得：$\frac{9}{sinB}=\frac{12}{sin2α}$，可得：sinB=$\frac{3}{4}$sin2α，
在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinB}=\frac{6}{sinα}$，可得：AD=$\frac{6sinB}{sinα}$=9cosα，
∴由余弦定理可得：6²=12²+（9cosα）²-2×12×（9cosα）×cosα，
整理可得：cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin2α=$\frac{4}{5}$，cos2α=$\frac{3}{5}$，AD=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，
則在△ADE中，由余弦定理可得：（$\frac{18\sqrt{5}}{5}$）²=DE²+9²-2×9×DE×$\frac{3}{5}$，整理可得：5DE²-54DE+81=0，
∴解得：DE=9，或1.8（舍去），
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE•sin2α=$\frac{1}{2}$×9×9×$\frac{4}{5}$=32.4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．