Question

設{a_n}是等差數列，{b_n}是各項都為正數的等比數列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列的前n項和為S_n，證明：S_n＜6．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，然后根據條件建立方程組，解之即可求出d與q，從而求出{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據數列的通項公式的形式可知利用錯位相消法進行求和即可求出S_n=6-，可證得結論．
解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，--------（1分）
則依題意有q＞0且解得d=2，q=2．-------（4分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．-----------（6分）
（Ⅱ）．
，①
，②
由②-①得：
=
=
=．-----------（10分）
∵，
∴S_n＜6．-----------（12分）
點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的通項公式，以及利用錯位相消法求數列的和，同時考查了不等式的證明，屬于中檔題．