Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）在x＞0時(shí)恒成立，回答下列問題：
（1）求證：函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在x＞0上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)f（x）=xlnx，h（x）=$\frac{a{x}^{2}}{2}$，若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m∈[1，e]使得f（m）＜h（m）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明：f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．

Answer 1

分析 （1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，求函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知證明導(dǎo)函數(shù)g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即可證明其在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）運(yùn)用參數(shù)分離可得$\frac{a}{2}$＞$\frac{lnm}{m}$在m∈[1，e]成立，令t（x）=$\frac{lnx}{x}$（1≤x≤e），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得最小值即可得到a的范圍；
（3）利用（1）的結(jié)論，且x₁＞0，x₂＞0時(shí)，x₁+x₂＞x₁，且x₁+x₂＞x₂，得$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$，$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，從中解出f（x₁）、f（x₂）即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∴g′（x）=$\frac{f′（x）•x-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
從而有g(shù)（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）解：至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m∈[1，e]使得f（m）＜h（m）成立，
即為f（m）-g（m）＜0，即$\frac{a}{2}$＞$\frac{lnm}{m}$．
令t（x）=$\frac{lnx}{x}$（1≤x≤e），t′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由于1≤x≤e，可得1-lnx≥0，
則t（x）在[1，e]遞增，x=1處，t（x）取得最小值0．
即有$\frac{a}{2}$＞0，即a＞0．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）；
（3）證明：由（1）知g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，有$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$，$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
于是有：f（x₁）＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$f（x₁+x₂），f（x₂）＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$f（x₁+x₂），
兩式相加得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
即為f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式成立問題注意運(yùn)用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．