Question

5．邊長為$2\sqrt{2}$的正△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在體積是$4\sqrt{3}π$的球面上，則球面上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 邊長是2$\sqrt{2}$的正三角形ABC內(nèi)接于體積是4$\sqrt{3}π$的球O，易求出△ABC的外接圓半徑及球的半徑，進(jìn)而求出球心距，由于球面上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離為球半徑加球心距，代入即可得到答案．

解答 解：邊長是2$\sqrt{2}$的正三角形ABC的外接圓半徑r=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
$\frac{4π}{3}{R}^{3}=4\sqrt{3}π$，
∴球O的半徑R=$\sqrt{3}$．
∴球心O到平面ABC的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴球面上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離為R+d=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是點(diǎn)、面之間的距離，其中根據(jù)球的幾何特征分析出球面上的點(diǎn)到平面ABC的最大距離為球半徑加球心距，是解答本題的關(guān)鍵．