Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）＜0，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0對一切x∈R恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）=

3

2

，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用奇偶函數(shù)的定義可判斷；
（2）由f（1）＜0可得0＜a＜1，由此可判斷f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)可去掉符號(hào)“f”，化為二次不等式，進(jìn)而可得△＜0；
（3）由f（1）=

3

2

可得a=2，通過換元可把g（x）化為二次函數(shù)，討論二次函數(shù)的對稱軸可求最小值，令其為-2可求m；

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
∵f（1）＜0，∴a-

1

a

＜0，
又a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1，
故f（x）在R上單調(diào)遞減，
不等式化為f（x²+tx）＜f（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5；
（3）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

），
若m≥

3

2

，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-2，
∴m=2；
若m＜

3

2

，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去，
綜上可知m=2．

點(diǎn)評：該題考查函數(shù)恒成立、函數(shù)的奇偶性單調(diào)性及其應(yīng)用，考查抽象不等式，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力．