Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R
（1）若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=bx+5-2b，b∈R，當a=0時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)的零點,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令△≥0，f（1）•f（-1）≤0，解不等式組求得a的范圍．
（2）畫出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)題意知兩函數(shù)圖象在區(qū)間[1，4]上有交點，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求得b的范圍．

解答： 解：（1）依題意知

△=16-4(a+3)≥0 f(1)•f(-1)=a(8+a)≤0

，求得-8≤a≤0．
（2）依題意知f（x）=x²-4x+3，圖象如圖，
變形g（x）=bx+5-2b得（y-5）=b（x-2），知其圖象為恒過（2，5）點的直線，
依題意可知直線與拋物線在區(qū)間[1，4]上有交點，如圖，
f（1）=0，f（4）=3，b為直線的斜率，
（1，0），（4，3）分別代入函數(shù)g（x）求得b分別為5，-1
以圖象可知要使兩函數(shù)圖象在[1，4]區(qū)間上有交點需b≥5或b≤-1，
即b的范圍是b≥5，或b≤-1．

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點問題，直線與拋物線關(guān)系問題．第二問采用了數(shù)形結(jié)合的思想，也可采用聯(lián)立方程根據(jù)零點的位置來確定b的范圍．