Question

20．有一動圓P恒過定點F（1，0）且與y軸相交于點A、B，若△ABP為正角形，則圓心P的軌跡方程是（　�。�

• A． $\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{（x-3）}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{（x-3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 設圓心坐標（b，c），半徑R，可得圓的方程，利用△ABP為正三角形，確定3（1-b）²+3c²=4b²，即可得出P的軌跡方程．

解答 解：設圓心坐標（b，c），半徑R，則圓的方程：（x-b）²+（y-c）²=R²
令y=0，則x=1，代入得：（1-b）²+c²=R²（*）
令x=0，得b²+（y-c）²=R²，解得y₁=c+$\sqrt{{R}^{2}-^{2}}$，y₂=c-$\sqrt{{R}^{2}-^{2}}$，
由題知，AB=R，即|y₁-y₂|=R，
∴2$\sqrt{{R}^{2}-^{2}}$=R，化簡得3R²=4b²
將（*）式代入，消去R得：3（1-b）²+3c²=4b²
將b換成x，c換成y，并化簡得：（x+3）²-3y²=12
即P的軌跡方程為$\frac{{（x+3）}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故選：A．

點評 本題考查P的軌跡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．