Question

11．已知h（x）=|2x-1|+m|x+3|（m＞0），且h（x）的最小值是7．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求出當(dāng)h（x）取得最小值時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)不等式的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程組，解出即可；
（Ⅱ）根據(jù)“=”成立的條件求出x的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=|2x-1|+m|x+3|=|1-2x|+|mx+3m|≥|（m-2）x+（1+3m）|，
∵h(yuǎn)（x）的最小值是7，故$\left\{\begin{array}{l}{m-2=0}\\{|1+3m|=7}\end{array}\right.$，解得：m=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)且僅當(dāng)（1-2x）（mx+3m）≥0?（2x-1）（2x+6）≤0，
即-3≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）≥|（m-2）x+（1+3m）|中的“=”成立，
故h（x）取最小值時(shí)x的范圍是[-3，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．