設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線y=kx+m與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且
OA
⊥
OB
，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（I）利用橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點(diǎn)，建立方程組，求出幾何量，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，利用△=16k2m2-4×（2k2+1）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，結(jié)合韋達(dá)定理、向量知識(shí)，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答： 解：（I）∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）過M（2，
2
），N（
6
，1）兩點(diǎn)，
∴
4
a2
+
2
b2
=1
6
a2
+
1
b2
=1

∴a2=8，b2=4
∴橢圓E的方程為
x2
8
+
y2
4
=1；
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-
4km
2k2+1
，x1x2=
2m2-8
2k2+1

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
m2-8k2
2k2+1

∵
OA
⊥
OB

∴x1x2+y1y2=0
∴
2m2-8
2k2+1
+
m2-8k2
2k2+1
=0
∴k2=
3m2
8
-1
∵△=16k2m2-4×（2k2+1）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0
∴24m2-8m2-32＞0
∴m＜-
2
或m＞
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2=1，a5=-5．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1+a3=
3
2
，S5=5．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{bn}滿足anbn=
1
4
，Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1，若不等式2kTn＜bn恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x1＞0，x1≠1且xn+1=
xn•(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
（n=1，2，…），試證：“數(shù)列{xn}對(duì)任意的正整數(shù)n，都滿足xn＞xn+1，”當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)應(yīng)為（　　）
A、對(duì)任意的正整數(shù)n，有xn=xn+1
B、存在正整數(shù)n，使xn≤xn+1
C、存在正整數(shù)n，使xn≥xn-1，且xn≥xn+1
D、存在正整數(shù)n，使（xn-xn-1）（xn-xn+1）≥0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)ABCD是平行四邊形，如圖所示，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且
AB
=
a
，
AD
=
b
，則
（1）
AC
=
 
，
OD
=
 
；
（2）當(dāng)|
a
+
b
|=|
a
-
b
|時(shí)，
a
與
b
的關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在一個(gè)口袋中裝有12個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球的概率是
5
11
．求：
（1）袋中黑球的個(gè)數(shù)；
（2）從袋中任意摸出3個(gè)球，至少得到2個(gè)黑球的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)變量x，y滿足約束條件
2x-y≥-1
x+y≤3
x≥0
y≥0
，則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是（　�。�
A、[-3，3]
B、[-1，9]
C、[-
1
3
， 9]
D、[
2
3
， 
7
3
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在區(qū)間[-4，4]內(nèi)任取一個(gè)元素x0，若拋物線y=x2在x=xo處的切線的傾角為α，則α∈[
π
4
，
3π
4
]的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作傾斜角為60°的直線交拋物線Γ：y2=x于P1點(diǎn)，過P1點(diǎn)作傾斜角為120°的直線交x軸于Q1點(diǎn)，交Γ于P2點(diǎn)；過P2點(diǎn)作傾斜角為60°的直線交x軸于Q2點(diǎn)，交Γ于P3點(diǎn)；過P3點(diǎn)作傾斜角為120°的直線，交x軸于Q3點(diǎn)，交Γ于P4點(diǎn)；如此下去…．又設(shè)線段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的長(zhǎng)分別為a1，a2，a3，…，an，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Qn-1PnQn，…的面積分別為G1，G2，G3，…，Gn，…，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn．
（1）求a1，a2；
（2）求an，
lim
n→∞
Gn
Sn
；
（3）設(shè)bn=aan(a＞0且a≠1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，對(duì)于正整數(shù)p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，試比較Tp•Ts與Tq•Tr的大�。�

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