Question

5．已知A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1
（1）求角A；
（2）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 本題運(yùn)用了三角函數(shù)恒等變換及三角函數(shù)求取值范圍．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-cosA+\sqrt{3}sinA=2sin（A-\frac{π}{6}）$=1，
所以$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，則$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}或\frac{5π}{6}$，所以$A=\frac{π}{3}或π（舍）$．故角$A=\frac{π}{3}$．
（2）因?yàn)?A=\frac{π}{3}$，所以$B+C=\frac{2π}{3}$．
所以原式=$sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）=sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB$
=$\frac{3}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$．
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）∴B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$．
故sinB+sinC的取值范圍為$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中三角間的關(guān)系，以及三角函數(shù)化一公式的應(yīng)用．