Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

給定橢圓：  ，稱(chēng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．

（1）若橢圓過(guò)點(diǎn)，且焦距為，求“伴隨圓”的方程；

（2）如果直線與橢圓的“伴隨圓”有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么請(qǐng)你畫(huà)出動(dòng)點(diǎn) 軌跡的大致圖形；

（3）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，

橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)是橢圓的“伴隨圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線使得與橢圓都各只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“伴隨圓”于點(diǎn)．

 當(dāng)為“伴隨圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求與的方程，并求線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

（１）解　由題意得：　，則．．．．．．．．．．１分

又由焦距為，所以　焦距為．．．．．．．２分

故所求的“伴隨圓”的方程為．．．．．．．．．．．．．４分

（２）由于橢圓的“伴隨圓”與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則圓心到直線的距離等于半徑，

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

故動(dòng)點(diǎn) 軌跡方程為　　

即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是：以原點(diǎn)為圓心半徑為３的圓上八分之一�。ǔ�去兩端點(diǎn)）如圖．．．．１０分

（３）由題意得：得，半焦距

則橢圓的方程為 “伴隨圓”的方程為

　　　

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

文科　因?yàn)椤鞍殡S圓”的方程為與軸正半軸的交點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為，

則　　整理得．．．．．．．１4分

所以，解得

所以，的方程為，．．．．．．．．．．１６分

由于，垂直，線段的長(zhǎng)度為４．．．．．．．．．．．１８分

理科

①當(dāng)，中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?img width=19 height=24 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/134/146634.gif" >與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與“伴隨圓”交于點(diǎn)，，

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個(gè)公點(diǎn)的直線（或），即為（或）顯然直線，垂直；

同理可證方程為時(shí) ，直線，垂直，所以．．．．．．13分

②當(dāng)，都有斜時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中。設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓為只有一共點(diǎn)的直線為，則消去，

得    

即　　　　　　

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：

因?yàn)?img width=82 height=25 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/169/146669.gif" >，所以有．．．．．．１６分

設(shè)，的斜率分為，因?yàn)?img width=19 height=24 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/134/146634.gif" >，與橢圓都有只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以滿足方程

所以，即，垂直．

綜合①②知：因?yàn)?img width=19 height=24 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/0688/134/146634.gif" >， 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又分別交其“伴隨圓”于點(diǎn)，且，垂直，所以線段為“伴隨圓” 的直徑，所以．．．．．１８分