Question

已知函數(shù)g(x)=

1

3

ax3+2x2-2x，函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=1，求g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，若存在一個(gè)與a有關(guān)的負(fù)數(shù)M，使得對任意x∈[M，0]時(shí)，-4≤f（x）≤4恒成立，求M的最小值及相應(yīng)的a值．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=

1

3

x3+2x2-2x，g′(x)=x2+4x-2…（2分）
由g'（x）＜0解得-2-

6

＜x＜-2+

6

…（4分）
∴當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-2-

6

，-2+

6

)；…（5分）
（2）易知f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
顯然f（0）=-2，由（2）知拋物線的對稱軸x=-

2

a

＜0…（7分）
①當(dāng)-2-

4

a

＜-4即0＜a＜2時(shí)，M∈(-

2

a

，0)且f（M）=-4令ax²+4x-2=-4解得x=

-2± 4-2a

a

…（8分）
此時(shí)M取較大的根，即M=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

…（9分）
∵0＜a＜2，∴M=

-2

4-2a +2

＞-1…（10分）
②當(dāng)-2-

4

a

≥-4即a≥2時(shí)，M＜-

2

a

且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得x=

-2± 4+6a

a

…（11分）
此時(shí)M取較小的根，即M=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

…（12分）
∵a≥2，∴M=

-6

4+6a -2

≥-3當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號…（13分）
由于-3＜-1，所以當(dāng)a=2時(shí)，M取得最小值-3  …（14分）