Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²，數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)都有b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)，判斷出數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)為正值，自第6項(xiàng)起為負(fù)值，然后分類(lèi)求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：由S_n=10n-n²，得a₁=9；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=10n-{n}^{2}-[10（n-1）-（n-1）^{2}]$
=11-2n，
由a_n≥0，得11-2n≥0，∴n$≤\frac{11}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)為正值，自第6項(xiàng)起為負(fù)值，
則當(dāng)n≤5時(shí)，${T}_{n}={S}_{n}=10n-{n}^{2}$；
當(dāng)n≥6時(shí)，T_n=（b₁+b₂+…+b₅）-（b₆+b₇+…+b_n）
=2（b₁+b₂+…+b₅）-（b₁+b₂+…+b_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．