Question

4．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+a）x．
（1）當a＞1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在x=1處取得最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）求導數(shù)可得f′（x）=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}$（x＞0），
a＞1時，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，∵x＞0，∴1＜x＜a；
令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a；
∴函數(shù)f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減，
∴f（x）_極大值=f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，f（x）_極小值=f（a）=alna-$\frac{1}{2}$a²-a；
（2）①a≤0時，令f′（x）＜0，可得x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＞0，可得x＞1，∵x＞0，∴x＞1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)在x=1處取得最小值，
∵函數(shù)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意的x恒成立，
∴f（1）=-$\frac{1}{2}$-a≥0，解得：a≤-$\frac{1}{2}$．
②a≥0時，f（1）=-$\frac{1}{2}$-a＜0，舍去；
綜上，a≤-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．