分析 由y=f(x)-k(x+1)=0得f(x)=k(x+1),設(shè)y=f(x),y=k(x+1),然后作出圖象,利用數(shù)形結(jié)合的思想確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答 解:y=f(x)-k(x+1)=0得f(x)=k(x+1),
設(shè)y=f(x),y=k(x+1),在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)和y=k(x+1)的圖象如圖:
因?yàn)?1≤x≤0時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x單調(diào)遞減,且f(x)>0.
因?yàn)閒(4)=ln5,即B(4,ln5).
當(dāng)直線y=k(x+1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn),滿足條件.
此時(shí)ln5=5k,則k=$\frac{ln5}{5}$,
由圖象可以當(dāng)直線y=k(x+1)與f(x)=ln(x+1)相切時(shí),函數(shù)y=f(x)-k(x+1)
有兩個(gè)零點(diǎn).
設(shè)切點(diǎn)為(a,ln(a+1)),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=$\frac{1}{x+1}$,切線斜率k=$\frac{1}{a+1}$,
則切線方程為y-ln(a+1)=$\frac{1}{a+1}$(x-a),
即y=$\frac{1}{a+1}$x$\frac{1}{a+1}$+ln(a+1),
∵y=k(x+1)=kx+k,
∴-$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a+1}}\\{ln(a+1)-\frac{a}{a+1}=k}\end{array}\right.$得a=e-1,k=$\frac{1}{e-1+1}$=$\frac{1}{e}$.
所以要使函數(shù)y=f(x)-k(x+1)有三個(gè)零點(diǎn),
則$\frac{ln5}{5}$≤k<$\frac{1}{e}$.
故答案為:$[{\frac{ln5}{5},\frac{1}{e}})$.
點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.
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