19.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x,-1≤x≤0\\ ln({x+1}).0<x≤4\end{array}$,若g(x)=f(x)-k(x+1)有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[{\frac{ln5}{5},\frac{1}{e}})$.

分析 由y=f(x)-k(x+1)=0得f(x)=k(x+1),設(shè)y=f(x),y=k(x+1),然后作出圖象,利用數(shù)形結(jié)合的思想確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解答 解:y=f(x)-k(x+1)=0得f(x)=k(x+1),
設(shè)y=f(x),y=k(x+1),在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)和y=k(x+1)的圖象如圖:
因?yàn)?1≤x≤0時(shí),函數(shù)f(x)=x2-x單調(diào)遞減,且f(x)>0.
因?yàn)閒(4)=ln5,即B(4,ln5).
當(dāng)直線y=k(x+1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn),滿足條件.
此時(shí)ln5=5k,則k=$\frac{ln5}{5}$,
由圖象可以當(dāng)直線y=k(x+1)與f(x)=ln(x+1)相切時(shí),函數(shù)y=f(x)-k(x+1)
有兩個(gè)零點(diǎn).
設(shè)切點(diǎn)為(a,ln(a+1)),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=$\frac{1}{x+1}$,切線斜率k=$\frac{1}{a+1}$,
則切線方程為y-ln(a+1)=$\frac{1}{a+1}$(x-a),
即y=$\frac{1}{a+1}$x$\frac{1}{a+1}$+ln(a+1),
∵y=k(x+1)=kx+k,
∴-$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a+1}}\\{ln(a+1)-\frac{a}{a+1}=k}\end{array}\right.$得a=e-1,k=$\frac{1}{e-1+1}$=$\frac{1}{e}$.
所以要使函數(shù)y=f(x)-k(x+1)有三個(gè)零點(diǎn),
則$\frac{ln5}{5}$≤k<$\frac{1}{e}$.
故答案為:$[{\frac{ln5}{5},\frac{1}{e}})$.

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),難度較大.

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7.已知函數(shù)f(x)=3ln2x-2x,它的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2(x1<x2),給出以下結(jié)論:
①1<x1<3<x2;②1<x1<x2<3;③f(x1)>-3;④f(x1)<-$\frac{5}{3}$
則上述結(jié)論中所有正確的序號(hào)是( 。
A.①③B.②③④C.①④D.①③④

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10.直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{t}{2}}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),曲線C:ρ=1,
(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn)P(1,2)為直線l上一點(diǎn),設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲線C′,若直線l與曲線C′相交于A,B兩點(diǎn),求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值.

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7.已知x1>x2>x3,若不等式$\frac{1}{{{x_1}-{x_2}}}+\frac{2}{{{x_2}-x{\;}_3}}≥\frac{m}{{{x_1}-{x_3}}}$恒成立,則實(shí)數(shù)m的最大值為( 。
A.9B.7C.3+2$\sqrt{2}$D.1+$\sqrt{2}$

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14.不定方程x+y+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為91.

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4.已知函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{1}{2}$x2-(1+a)x.
(1)當(dāng)a>1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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11.已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-$\frac{x}{x+1}$與函數(shù)g(x)=ln(1-x)-$\frac{x}{x-1}$的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
(Ⅰ)求a的值,并求函數(shù)f(x)的最小值;
(II)是否存在點(diǎn)M(0,-1)的直線與函數(shù)y=f (x)的圖象相切?若存在,滿足條件的切線有多少條?若不存在,說(shuō)明理由.

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8.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表(每行比上一行多一個(gè)數(shù)),設(shè)aij(i,j∈N+)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù),如a42=8,若aij=2010,則i,j的值的和為(  )
A.75B.76C.77D.78

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11.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos{φ}_{1}}\\{y=\sqrt{3}sin{φ}_{1}}\end{array}\right.$(φ1是參數(shù)),圓C2的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{2}}\\{y=1+sin{φ}_{2}}\end{array}\right.$(φ2是參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(I)求圓C1,圓C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)射線θ=α( 0≤α<2π)同時(shí)與圓C1交于O,M兩點(diǎn),與圓C2交于O,N兩點(diǎn),求|OM|+|ON|的最大值.

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