Question

10．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁，左頂點(diǎn)為A，過F₁作x軸的垂線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，過P作PM垂直QA于M，過Q作QN垂直PA于N，設(shè)PM與QN的交點(diǎn)為B，若B到直線PQ的距離大于a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，則該雙曲線的離心率取值范圍是（　�。�

• A． （1-$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，2$\sqrt{2}$）
• D． （2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，則B（x，0），由k_BP•k_AQ=-1，求得c+x=-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$，由B到直線PQ的距離d=x+c，由丨-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$丨＞a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，即可求得$\frac{a}$＞1，利用雙曲線的離心率公式即可求得e的取值范圍．

解答 解：由題意可知：A（-a，0），P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），Q（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由雙曲線的對(duì)稱性可知B在x軸上，設(shè)B（x，0），
則BP⊥AQ，
則k_BP•k_AQ=-1，
∴$\frac{-\frac{^{2}}{a}}{-c-x}$•$\frac{\frac{^{2}}{a}}{-c+a}$=-1，
則c+x=-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$，
由B到直線PQ的距離d=x+c，
∴丨-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$丨＞a+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，則$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$＞c²-a²=b²，
∴$\frac{a}$＞1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，
雙曲線的離心率取值范圍（$\sqrt{2}$，+∞），
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．