Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬(wàn)元），其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R（x）（萬(wàn)元）滿足：R（x）=

-0.4x2+4.2x-0.8   (0≤x≤5) 10.2                         (x＞5).

假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律．
（1）試寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)p（x）的函數(shù)表達(dá)式．
（2）要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍？
（3）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？

Answer 1

分析：（1）依題意，G（x）=x+2．設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為p（x），由題設(shè)條件寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)p（x）的函數(shù)表達(dá)式．
（2）要使工廠有贏利，即解不等式p（x）＞0，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；當(dāng)x＞5時(shí)，解不等式8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．由此知要使工廠贏利，產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺(tái)且小于820臺(tái)的范圍．
（3）0≤x≤5時(shí)，f（x）=-0.4（x-4）²+3.6．故當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值3.6．而當(dāng)x＞5時(shí)，f（x）＜8.2-5=3.2．由此可知當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最多．

解答：解：（1）依題意，G（x）=x+2．
設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為p（x），
則p（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8   (0≤x≤5) 8.2-x                    (x＞5).

（4分）
（2）要使工廠有贏利，
即解不等式p（x）＞0，（5分）
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，
解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，
即x²-8x+7＜0，
∴1＜x＜7．
∴1＜x≤5；                            （7分）
當(dāng)x＞5時(shí)，解不等式8.2-x＞0，
得x＜8.2，
∴5＜x＜8.2．（9分）
綜上，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1＜x＜8.2，
即產(chǎn)品應(yīng)控制在大于100臺(tái)且小于820臺(tái)的范圍            （11分）
（3）0≤x≤5時(shí)，
f（x）=-0.4（x-4）²+3.6．
故當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值3.6． （14分）
而當(dāng)x＞5時(shí)，
f（x）＜8.2-5=3.2．
所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最多．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的具體運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．