Question

在三棱錐A-BCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=

2

，O為BD的中點(diǎn)
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AO⊥BD，AO⊥CO，由此能證明AO⊥平面BCD．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵在三棱錐A-BCD中，
底面BCD是正三角形，O為BD的中點(diǎn)，
∴AO⊥BD，
連結(jié)CO，∵AC=BD=2，AB=AD=

2

，
∴AO=

2-1

=1，CO=

4-1

=

3

，
∴AO²+CO²=AC²，∴AO⊥CO，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，
OC為y軸，OA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，1），D（-2，0，0），
C（0，

3

，0），B（1，0，0），

AD

=（-2，0，-1），

AC

=（0，

3

，-1），
設(shè)平面ADC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AD =-2x-z=0 n • AC = 2 y-z=0

，取x=1，得

n

=（1，-

2

，-2），
平面BDC的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

n

，

m

＞=

-2

1+2+4

=-

2 7

7

，
∵二面角A-DC-B是銳二面角，∴二面角A-DC-B的余弦值為

2 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．