Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)p到兩點(diǎn)（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)p的軌跡為C，直線(xiàn)y=kx+1與C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）若|AB|=

8

5

2

，求k的值；
（3）若

OA

⊥

OB

，求k的值；
（4）當(dāng)k=1時(shí)，求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）利用橢圓的定義可知其軌跡為橢圓，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由2a=4，c=

3

，b²=a²-c²，解出即可．．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立可得（4+k²）x²+2kx-3=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出．
（3）由

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（4）利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答： 解：（1）∵4＞2

3

，∴點(diǎn)p的軌跡C為橢圓．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
則2a=4，c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

4

+x2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+1 y2 4 +x2=1

，化為（4+k²）x²+2kx-3=0，
∴x₁+x₂=

-2k

4+k2

，x1x2=

-3

4+k2

，
∵|AB|=

8

5

2

，
∴

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8 2

5

，
∴（1+k²）[(

-2k

4+k2

)2-

4×(-3)

4+k2

]=

128

25

，
化為17k⁴+36k²-53=0，
解得k²=1，
∴k=±1．
（3）∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴

-3(1+k2)

4+k2

+

-2k2

4+k2

+1=0，
化為4k²=1，
解得k=±

1

2

．
（4）設(shè)AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
∵k=1，
∴x0=

x1+x2

2

=

-1

4+12

=-

1

5

，
y₀=x₀+1=

4

5

，
∴M(-

1

5

，

4

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．