已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
sinxcosx-
1
2

（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取得最大值時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）已知a、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且a，b，c成等比數(shù)列，角B為銳角，且f（B）=1，求
1
tanA
+
1
tanC
的值．
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=sin（2x-
π
6
），從而可求得f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）由角B為銳角，且f（B）=1可求得B，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)與正弦定理，可求得sinAsinC=sin2B=
3
4
，從而可求得
1
tanA
+
1
tanC
的值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+
3
sinxcosx-
1
2

=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2

=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x
=sin（2x-
π
6
），
∴當(dāng)2x-
π
6
=2kπ+
π
2
（k∈Z），
即x=kπ+
π
3
（k∈Z）時(shí)，f（x）max=1，
∴此時(shí)x的取值集合為{x|x=kπ+
π
3
，k∈Z}
（Ⅱ）∵f（B）=1，
∴sin（2B-
π
6
）=1，又角B為銳角，
∴2B-
π
6
=
π
2
，
∴B=
π
3
；
∵△ABC中，a，b，c成等比數(shù)列，
∴b2=ac，由正弦定理得：sinAsinC=sin2B=
3
4
；
∴
1
tanA
+
1
tanC

=
cosA
sinA
+
cosC
sinC

=
cosAsinC+sinAcosC
sinAsinC

=
sin(A+C)
sinAsinC

=
sin(π-B)
sinAsinC

=
sinB
sinAsinC

=
1
sinB

=
2
3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的最值及等比數(shù)列的性質(zhì)與正弦定理，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當(dāng)x=
π
3
時(shí)，取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）對(duì)任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x-b
x
在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=2ax-
1
x2
是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對(duì)于（0，1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；
（2）如果對(duì)任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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