Question

13．給出下列四個命題：
①已知命題p：?x∈R，tanx=2；命題q：?x∈R，x²-x+1≥0，則命題“p∧q”為真命題；
②函數(shù)f（x）=2^x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個零點；
③已知圓O：x²+y²=5，直線l：xcosθ+ysinθ=1（0＜θ＜$\frac{π}{2}}）$）．則圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為2；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）的過程中，由n=k到n=k+1時，左邊需增添的一個因式是2（2k+1）．其中，真命題的序號是①②④（把你認為正確的命題序號都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)命題p、q的真假來斷定p∧q的真假．②根據(jù)兩個函數(shù)的增減性來斷定函數(shù)的零點個數(shù)．③有直線到圓的距離得出圓上o到直線的距離等于1的個數(shù)．根據(jù)“k”到“k+1”時，等式左邊添加兩項2k+1，2k+2，同時減少一項k+1，可判斷④的真假

解答 解：命題p：?x∈R，tanx=2是真命題．x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥0恒成立．所以命題“p∧q”為真命題．①對．
f（x）=2^x+2x-3．可得y=2^x為增函數(shù)．y=3-2x為減函數(shù)．所以函數(shù)f（x）=2^x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個零點，②對．
圓心（0，0）到直線xcosθ+ysinθ=1（0＜θ＜$\frac{π}{2}}）$）的距離為1．圓的半徑為$\sqrt{5}$
則圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為4；③錯．
由數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個因式是$\frac{（2k+1）（2k+2）}{k+1}$=2（2k+1），故④正確．所以選①②④

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，函數(shù)零點的個數(shù)判斷等基礎(chǔ)知識點是解答本題的關(guān)鍵