Question

【題目】已知一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球(n≥1且n∈N+)和2個(gè)白球,從中有放回地連續(xù)摸三次,每次摸出2個(gè)球,若2個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng),否則不中獎(jiǎng).

(1)當(dāng)n=3時(shí),設(shè)三次摸球中中獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列;

(2)記三次摸球中恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為P,求當(dāng)n取多少時(shí),P的值最大.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1或2

【解析】

（1）當(dāng)n=3時(shí)，每次摸出兩個(gè)球，中獎(jiǎng)的概率p==，設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為ζ，則ζ的可能取值為0，1，2，3．分別求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．

（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸球（每次摸球后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為P（ζ=2）=p2（1﹣p）=﹣3p3+3p2，0＜p＜1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出n為1或2時(shí)，P有最大值．

（1）當(dāng)n=3時(shí)，每次摸出兩個(gè)球，中獎(jiǎng)的概率，

； ；

；；

ξ分布列為：

ξ	0	1	2	3
p

（2）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，

則三次摸球（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有兩次中獎(jiǎng)的概率為：

，0＜p＜1，

P'=﹣9p2+6p=﹣3p（3p﹣2），知在上P為增函數(shù)，在上P為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)P取得最大值．

又，

故n2﹣3n+2=0，解得：n=1或n=2，

故n為1或2時(shí)，P有最大值．