Question

（2013•眉山二模）已知函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的導函數(shù)為f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，則|x₁-x₂|的取值范圍為（　　）

• A．[

  3

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  4

  9

  )
• C．[

  1

  3

  ，

  3

  3

  )
• D．[

  1

  9

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：由題意得：f（x）=3ax²+2bx+c，x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，由韋達定理得，x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，于是求|x1-x2|2
=

4b2-12ac

9a2

，又a+b+c=0，從而有|x1-x2|2=

4

9

•(

b

a

)2+

4

3

（

b

a

）+

4

3

①，又f（0）•f（1）＞0，可求得-2＜

b

a

＜-1，代入①即可求得|x1-x2|2的范圍，從而得到選項．

解答：解：由題意得：f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∴|x1-x2|2=(x1+x2) 2-4x₁•x₂=

4b2-12ac

9a2

，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴|x1-x2|2=

4b2+12a(a+b)

9a2

=

12a2+4b2+12ab

9a2

=

4

9

•(

b

a

)2+

4

3

（

b

a

）+

4

3

①，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a²+3ab+b²＜0，
∵a≠0，兩邊同除以a²得：
(

b

a

)2+3

b

a

+2＜0；
∴-2＜

b

a

＜-1，代入①得|x1-x2|2∈[

1

3

，

4

9

）
∴|x₁-x₂|∈[

3

3

，

2

3

）．
故選A．

點評：本題考查根與系數(shù)的關系，著重考查韋達定理的使用，難點在于對條件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察數(shù)學思維的深刻性與靈活性，屬于難題．