精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
(2009•成都二模)已知空間向量
OA
=(1,K,0)(k∈Z)
,|
OA
| ≤3
,
OB
=(3,1,0)
,O為坐標原點,給出以下結論:①以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OACB中,當且僅當k=2時,|
OC
|
取得最小值;②當k=2時,到A和點B等距離的動點P(x,y,z)的軌跡方程為4x-2y-5=0,其軌跡是一條直線;③若
OP
=(0,0,1)
,則三棱錐O-ABP體積的最大值為
7
6
;④若
OP
=(0,0,1),則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形的概率為
2
5
.其中,所有正確結論的應是
分析:對于①,利用向量加法的平行四邊形法則得出
OC
的坐標,從而求出|
OC
|
2=16+(k+1)2,當且僅當k=-1時,|
OC
|
取得最小值;故①錯;對于②,當k=2時,到A和點B等距離的動點P(x,y,z)的軌跡方程為線段AB的中垂面,其軌跡是一個平面;故②錯;③若
OP
=(0,0,1)
,要使得三棱錐O-ABP體積的最大,只須S△OAB最大即可,下面求出其最大值即可.④若
OP
=(0,0,1),則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形,只須在三角形OAB中,∠OAB為直角即可,再探討在什么情況下其是直角結合概率公式計算即得.
解答:解:
OC
=
OA
+
OB
=(1,k,0)+(3,1,0)=(4,k+1,0),
|
OC
|
2=16+(k+1)2,當且僅當k=-1時,|
OC
|
取得最小值;故①錯;
對于②,當k=2時,到A和點B等距離的動點P(x,y,z)的軌跡方程為線段AB的中垂面,其軌跡是一個平面;故②錯;
③若
OP
=(0,0,1)
,要使得三棱錐O-ABP體積的最大,
由于三棱錐O-ABP體積=
1
3
×|
OP
|×S△OAB=
1
3
S△OAB
故只須S△OAB最大即可,
在xOy平面內考慮,此時A(1,2),cos∠AOB=
OA
OB
|
OA
|| 
OB
|
=
5
5
10
=
2
2
,∴∠AOB=45°.
S△OAB最大=
1
2
×|
OA
|×|
OB
|sin∠AOB=
1
2
×
5
×
10
sin45°=
5
6
.故錯;
④若
OP
=(0,0,1),則要使得三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形,
只須在三角形OAB中,∠OAB為直角即可,
如圖,由于點A只能在M,N,S,P,Q五點取得,有5種取法,
而使得∠OAB為直角的點是M,Q,有2種取法,
則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形的概為
2
5
.正確.
其中,所有正確結論的應是④.
故答案為:④.
點評:本小題主要考查命題的真假判斷與應用、三棱錐的幾何特征、向量的數量積等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想.屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•成都二模)在△ABC中,a、b、c分別是三內角A、B、C所對邊的長,若bsinA=asinC,則△ABC的形狀( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•成都二模)質檢部門將對12個廠家生產的嬰幼兒奶粉進行質量抽檢,若被抽檢廠家的奶粉經檢驗合格,則該廠家的奶粉即可投放市場;若檢驗不合格,則該廠家的奶粉將不能投放市場且作廢品處理.假定這12個廠家中只有2個廠家的奶粉存在質量問題(即檢驗不能合格),但不知道是哪兩個廠家的奶粉.
(I)從中任意選取3個廠家的奶粉進行檢驗,求至少有2個廠家的奶粉檢驗合格的概率;
(Ⅱ)每次從中任意抽取一個廠家的奶粉進行檢驗(抽檢不重復),記首次抽檢到合格奶粉時已經檢驗出奶粉存在質量問題的廠家個數為隨即變量ξ,求ξ的分布列及數學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•成都二模)已知集合P={x|x2-2x+1=0,x∈R},則集合P的子集個數是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•成都二模)化簡復數i3-
1+i
1-i
的結果是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•成都二模)已知函數f(x)的定義域為[0,1),則函數f(1-x)的定義域為( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案