Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x-alnx．
（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）≥a（2-lna）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域，以及f（x）的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分類討論a的范圍確定出零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（2）由a＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，存在唯一x₀使f′（x₀）=0，分類討論x的范圍確定出導(dǎo)函數(shù)的增減性，求出f（x）最小值，即可得證．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-alnx，得到x＞0，
∴f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?y=e^x與y=$\frac{a}{x}$的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
①a=0時(shí)，顯然無；
②a＞0時(shí)，有1個(gè)；
③a＜0時(shí)，無零點(diǎn)；
（2）由（1）a＞0時(shí)，存在唯一x₀使f′（x₀）=0，即e${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{a}{{x}_{0}}$，
且x∈（0，x₀）時(shí)，f′（x₀）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（x₀，+∞）時(shí)，f′（x₀）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（x₀）=e${\;}^{{x}_{0}}$-alnx₀=$\frac{a}{{x}_{0}}$-aln$\frac{a}{{x}_{0}}$=$\frac{a}{{x}_{0}}$+ax₀-alna≥2a-alna=a（2-lna），得證．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，熟練掌握導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．