Question

已知平面上兩個點集M={（x，y）||x+y+1|≥

2(x2+y2)

，x，y∈R}，N={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1，x，y∈R}．若M∩N≠∅，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,交集及其運算,絕對值不等式的解法

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合

分析：判斷集合M的點集，以及集合N的點集，利用函數(shù)與方程的特征，求出方程的解，然后判斷a的范圍即可．

解答： 解：由題意知 M 是以原點為焦點、直線 x+y+1=0 為準線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點集，N 是以 （a，1）為中心的正方形及其內(nèi)部的點集（如圖）．
考察M∩N=∅時，a的取值范圍：
令 y=1，代入方程|x+y+1|≥

2(x2+y2)

，
得 x²-4x-2=0，解出得 x=2±

6

． 所以，
當(dāng) a＜2-

6

-1=1-

6

 時，M∩N=∅．     …①
令 y=2，代入方程|x+y+1|≥

2(x2+y2)

，
得x²-6x-1=0，解出得 x=3±

10

．
所以，當(dāng) a＞3+

10

 時，M∩N=∅．     …②
因此，綜合 ①與 ②可知，當(dāng) 1-

6

≤a≤3+

10

，即 a∈[1-

6

，3+

10

]時，
M∩N≠∅．
故答案為：[1-

6

，3+

10

]．

點評：本題考查集合的交集的求法，函數(shù)的零點以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．