Question

已知命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)m∈[-1，1]恒成立；命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解；若命題p是真命題，命題q是假命題，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：由題條件，先解出兩個(gè)命題為真命題時(shí)a的取值范圍，再根據(jù)命題p是真命題，同時(shí)命題q是假命題，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：依題意，p為真命題時(shí)，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

≤3，
∴a²-5a-6≥0，
∴a≥6或a≤-1，
q為真命題，即不等式ax²+2x-1＞0有解，
當(dāng)a=0時(shí)，2x-1＞0有解x＞

1

2

；
當(dāng)a＞0時(shí)，顯然不等式ax²+2x-1＞0有解；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式ax²+2x-1＞0有解?△=4-4a×（-1）=4+4a＞0，解得-1＜a＜0；
綜上所述，命題q為真命題，則a＞-1．
∵命題p是真命題，命題q是假命題，
∴

a≥6或a≤-1 a≤-1

，解得：a≤-1．
故答案為：a≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是對(duì)p條件中恒成立問(wèn)題的正確轉(zhuǎn)化以及命題q正確時(shí)a的取值范圍的確定，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．