Question

已知直線y=-2x-

2

3

與曲線f(x)=

1

3

x3-bx相切．
（1）求b的值
（2）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有兩個(gè)解x₁，x₂．
求：①m的取值范圍     ②比較x₁x₂+9與3（x₁+x₂）的大�。�

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），設(shè)出切點(diǎn)（x₀，y₀），然后根據(jù)在x=x₀的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點(diǎn)在切線和函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出b的值；
（2）①構(gòu)造函數(shù) h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化成使h（x）圖象在（0，+∞）內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，建立關(guān)系式，解之即可求出m的范圍．②做差比較較x₁x₂+9與3（x₁+x₂）的大小．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3-bx，∴f'（x）=x²-b
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），依題意得

1 3 x 3 0 -bx0=y0 y0=-2x0- 2 3 x 2 0 -b=-2

解得：b=3
（2）設(shè)h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m
則h'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）．
1令h'（x）=023，得x=-14或x=35在（0，3）6上，h'（x）＜07，
故h（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上，h'（x）＞0，
故h（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
若使h（x）圖象在（0，+∞）內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則需

h(0)=-m＞0 h(3)=-9-m＜0

，∴-9＜m＜0
此時(shí)存在x＞3時(shí)，h（x）＞0，例如當(dāng)x=5時(shí)，h=

125

3

-25=15-m=

5

3

-m＞0．
∴①所求m的范圍是：-9＜m＜0．
②由①知，方程f（x）=x²+m2在（0，+∞）3上有兩個(gè)解x₁，x₂，
滿足0＜x₁＜3，x₂＞3，x₁x₂+9-3（x₁+x₂）=（3-x₁）（3-x₂）＜0，
x₁x₂+9＜3（x₁+x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．