Question

已知正項數(shù)列{a_n}，其前n項和S_n滿足6S_n＝a＋3a_n＋2，且a₁，a₂，a₆是等比數(shù)列{b_n}的前三項．

(1)求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；

(2)記T_n＝a₁b_n＋a₂b_n－1＋…＋a_nb₁，n∈N^*，證明：3T_n＋1＝2b_n＋1－a_n＋1(n∈N^*)．

Answer 1

解析：　(1)∵6S_n＝a＋3a_n＋2，                         ①

∴6a₁＝a＋3a₁＋2，解得a₁＝1或a₁＝2.

又6S_n－1＝＋3a_n－1＋2(n≥2)，                          ②

由①－②，得6a_n＝(a－)＋3(a_n－a_n－1)，

即(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－3)＝0.

∵a_n＋a_n－1＞0，∴a_n－a_n－1＝3(n≥2)．

當a₁＝2時，a₂＝5，a₆＝17，此時a₁，a₂，a₆不成等比數(shù)列，

∴a₁≠2；

當a₁＝1時，a₂＝4，a₆＝16，此時a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，

∴a₁＝1.

∴{a_n}是以1為首項3為公差的等差數(shù)列，{b_n}是以1為首項4為公比的等比數(shù)列．

∴a_n＝3n－2，b_n＝4^n－1.

(2)由(1)得

T_n＝1×4^n－1＋4×4^n－2＋…＋(3n－5)×4¹＋(3n－2)×4⁰，       ③

∴4T_n＝1×4ⁿ＋4×4^n－1＋7×4^n－2＋…＋(3n－2)×4¹.           ④

由④－③，得

3T_n＝4ⁿ＋3×(4^n－1＋4^n－2＋…＋4¹)－(3n－2)

＝4ⁿ＋12×－(3n－2)

＝2×4ⁿ－(3n＋1)－1

＝2b_n＋1－a_n＋1－1，

∴3T_n＋1＝2b_n＋1－a_n＋1(n∈N^*)．