Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，E、F分別為線段CD、AB上的點(diǎn)，且EF∥AD．將梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF，折后BD與平面ADEF所成角正切值為

2

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．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF與平面ABD所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，
∴∠DBE是BD與平面ADEF所成的角，∴tan∠DBE=

2

2

，
設(shè)DE=a，則BE=

(2-a)2+1

，由tan∠DBE=

DE

BE

=

a

(2-a)2+1

=

2

2

，可解得a=1，
∴F為AB的中點(diǎn)，可得BC⊥BE，又DE⊥平面BCEF，可得BC⊥DE，
又BE∩DE=E，∴BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)M，連接MB、MD，易知MB∥AD，∴平面ABMD即平面ABD，
∵DE⊥平面BCEF，∴DE⊥MB，∴MB⊥平面CDE，可得DM⊥BM，
又MB⊥EC，∴∠DME即平面BCEF與平面ABD所成的二面角，
由DE=EM=1可得∠DME=45°
故平面BCEF與平面ABD所成二面角為45°