Question

已知函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

1

2

x2-(a-1)x+1．
（Ⅰ）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)6x+y+1=0平行，求出這條切線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，從而可求切線(xiàn)的方程．
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

3

x3+

1

2

x2-(a-1)x+1，
∴f′（x）=ax²+x-a+1，
f（2）=

8

3

a+2-2a+2+1=

2

3

a+5，
∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)6x+y+1=0平行，
∴f′（2）=4a+2-a+1=-6，
解得a=-3，∴f（2）=

2

3

×(-3)+5=3．
∴曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為：
y-3=-6（x-2），即6x+y-15=0．
（Ⅱ）f′（x）=ax2+x-a+1=（x+1）（ax-a+1）=a（x+1）（x-

a-1

a

），
若0＜a＜

1

2

，則

a-1

a

＜-1，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，

a-1

a

）和（-1，+∞），減區(qū)間為（

a-1

a

，-1）；
若a=

1

2

，則f′（x）=

1

2

（x+1）2≥0，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）；
若a＞

1

2

，則

a-1

a

＞-1，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1）和（

a-1

a

，+∞），減區(qū)間為（-1，

a-1

a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．