Question

設(shè)異面直線a與b所成的角為50°,O為空間一定點(diǎn),試討論,過(guò)點(diǎn)O與a、b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直線l有且僅有幾條?

Answer 1

解:過(guò)點(diǎn)O作a₁∥a,b₁∥b,則相交直線a₁、b₁確定一平面α.a₁與b₁夾角為50°或130°,

    設(shè)直線OA與a₁、b₁均為θ角,作AB⊥面α于點(diǎn)B,BC⊥a₁于點(diǎn)C,BD⊥b₁于點(diǎn)D,記∠AOB=θ₁,∠BOC=θ₂(θ₂=25°或65°),

    則有cosθ=cosθ₁·cosθ₂.

    因?yàn)?°≤θ₁≤90°,

    所以0≤cosθ≤cosθ₂.

    當(dāng)θ₂=25°時(shí),由0≤cosθ≤cos25°,得25°≤θ≤90°;

    當(dāng)θ₂=65°時(shí),由0≤cosθ≤cos65°,得65°≤θ≤90°.

    故當(dāng)θ＜25°時(shí),直線l不存在;當(dāng)θ=25°時(shí),直線l有且僅有1條;

    當(dāng)25°＜θ＜65°時(shí),直線l有且僅有2條;

    當(dāng)θ=65°時(shí),直線l有且僅有3條;

    當(dāng)65°＜θ＜90°時(shí),直線l有且僅有4條;

    當(dāng)θ=90°時(shí),直線l有且僅有1條.

講評(píng):異面直線所成的角就是選點(diǎn)、平移后的平面角.上述解答首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:求過(guò)點(diǎn)O與a₁、b₁均成θ角的直線的條數(shù),進(jìn)而通過(guò)討論θ的范圍去確定直線l的條數(shù).