Question

18、設(shè)異面直線a與b所成的角為50°，O為空間一定點(diǎn)，試討論，過(guò)點(diǎn)O與a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條？

Answer 1

分析：為了討論：過(guò)點(diǎn)O與a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條，先將涉及到的線放置在同一個(gè)平面內(nèi)觀察，如圖產(chǎn)，只須考慮過(guò)點(diǎn)O與直線a₁、b₁所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直線l有且僅有幾條即可，再利用cosθ=cosθ₁•cosθ₂．進(jìn)行角之間的大小比較即得．

解答：解：過(guò)點(diǎn)O作a₁∥a，b₁∥b，則相交直線a₁、b₁確定一平面α．a(chǎn)₁與b₁夾角為50°或130°，設(shè)直線OA與a₁、b₁均為θ角，作AB⊥面α于點(diǎn)B，BC⊥a₁于點(diǎn)C，BD⊥b₁于點(diǎn)D，記∠AOB=θ₁，∠BOC=θ₂（θ₂=25°或65°），則有cosθ=cosθ₁•cosθ₂．因?yàn)?°≤θ₁≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ₂．
當(dāng)θ₂=25°時(shí)，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
當(dāng)θ₂=65°時(shí)，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故當(dāng)θ＜25°時(shí)，直線l不存在；當(dāng)θ=25°時(shí)，直線l有且僅有1條；
當(dāng)25°＜θ＜65°時(shí)，直線l有且僅有2條；
當(dāng)θ=65°時(shí)，直線l有且僅有3條；
當(dāng)65°＜θ＜90°時(shí)，直線l有且僅有4條；
當(dāng)θ=90°時(shí)，直線l有且僅有1條．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及空間想象力、轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．