Question

已知等差數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8．
（1）若a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．
（2）若a₂，a₃，a₁不成等比數(shù)列，求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出a_n；利用等比數(shù)列的定義可判定a₂，a₃，a₁是否成等比數(shù)列，通過對(duì)a_n與0的大小關(guān)系分類討論，
即可得出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為S_n．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意得

3a1+3d=-3 a1(a1+d)(a1+2d)=8

 解得

a1=2 d=-3

或

a1=-4 d=3

．
∴a_n=2-3（n-1）=-3n+5或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
當(dāng)a_n=3n-7時(shí)，a₂，a₃，a₁分別為-1，2，-4，成等比數(shù)列，滿足條件．
設(shè)數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為S_n．
∴當(dāng)n=1，2時(shí)，|a_n|=7-3n，Sn=

n(4+7-3n)

2

=-

3

2

n2+

11

2

n；
當(dāng)n≥3時(shí)，|a_n|=3n-7，
S_n=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n
=5+

(n-2)(2+3n-7)

2

=

3

2

n2-

11

2

n+10，
綜上可得：|a_n|=|7-3n|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

Sn=

- 3 2 n2+ 11 2 n，n=1，2 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥3

（2）當(dāng)a_n=-3n+5時(shí)，a₂，a₃，a₁分別為-1，-4，2，不成等比數(shù)列．

1

anan+1

=

1

(3n-5)(3n-2)

=

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)，
∴Tn=

1

3

[(-

1

2

-1)+(1-

1

4

)+…+(

1

3n-5

-

1

3n-2

)]
=

1

3

[-

1

2

-

1

3n-2

]
=

n

-6n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列的求和問題、分類討論、“裂項(xiàng)求和”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．