已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且與直線l:x-y-1=0交于A,B兩點(diǎn).
(1)若右頂點(diǎn)到直線l的距離等于
2
2
,求橢圓方程.
(2)設(shè)△AF1F2的重心為M,△BF1F2的重心為N,若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi),求a2的取值范圍.
分析:(1)由橢圓右頂點(diǎn)到直線l的距離等于
2
2
列式求出a的值,結(jié)合已知和b2=a2-c2求出b2,則橢圓的方程可求;
(2)因?yàn)锳,B在直線l:x-y-1=0上,所以設(shè)A(x1,x1-1),B(x2,x2-1),把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,由重心坐標(biāo)公式求出M和N的坐標(biāo),利用原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)得到
OM
ON
<0
,代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得a2的取值范圍.
解答:解:(1)由橢圓右頂點(diǎn)到直線l的距離等于
2
2
,得
|a-0-1|
2
=
2
2
,解得a=2,由c=1,所以b2=a2-c2=3.
所以橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由題意設(shè)A(x1,x1-1),B(x2,x2-1),
y=x-1
(a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)
,得(2a2-1)x2-2a2x+2a2-a4=0
x1+x2=
2a2
2a2-1
,x1x2=
2a2-a4
2a2-1

∵直線AB:x-y-1=0過(guò)焦點(diǎn)F2(1,0),
∴△AF1F2的重心M(
x1
3
,
x1-1
3
),
△BF1F2的重心N(
x2
3
,
x2-1
3
),
因?yàn)樵c(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi),
所以
OM
ON
=
x1x2
9
+
(x1-1)(x2-1)
9
=
2x1x2-(x1+x2)+1
9

=
2a2-a4
2a2-1
-
2a2
2a2-1
+1
9
<0

解得,a2>1+
2
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,解答此題的關(guān)鍵是把原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)轉(zhuǎn)化為
OM
ON
<0
,進(jìn)一步運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解,是有一定難度題目.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過(guò)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過(guò)右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過(guò)M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案