Question

2．如圖，在三棱柱ABC一A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點．
（Ⅰ）求證：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求異面直線AB與C₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角C₁-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)B₁C、BC₁，交于點O，連結(jié)DO，則OD∥AB₁，由此能證明AB₁∥面BDC₁．
（Ⅱ）以C₁為原點，C₁A₁為x軸，C₁C為y軸，C₁B₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB與C₁D所成角的余弦值．
（Ⅲ）求出平面C₁BD的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角C₁-BD-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)B₁C、BC₁，交于點O，連結(jié)DO，
∵三棱柱ABC一A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
∴BB₁C₁C是矩形，
∴O是B₁C中點，
∵D為AC的中點，
∴OD∥AB₁，
∵AB₁?面BDC₁，OD?面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁．
解：（Ⅱ）以C₁為原點，C₁A₁為x軸，C₁C為y軸，C₁B₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，3，0），B（0，3，2），C₁（0，0，0），D（1，3，0），
$\overrightarrow{AB}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，3，0），
設(shè)異面直線AB與C₁D所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{C}_{1}D}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{{C}_{1}D}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴異面直線AB與C₁D所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（Ⅲ）B（0，3，2），C₁（0，0，0），D（1，3，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，3，0），
設(shè)平面C₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=x+3y=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，-1，3），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角C₁-BD-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{19}}$=$\frac{\sqrt{19}}{19}$，
∴二面角C₁-BD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．