Question

12．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x+1）在區(qū)間（-1，+∞）上遞減，求證：對于任意實(shí)數(shù)x₁＞0，x₂＞0，恒有$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]≥f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}-2}{2}$）

Answer 1

分析 由條件，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得0＜a＜1，運(yùn)用作差法和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：函數(shù)f（x）=log_a（x+1）在區(qū)間（-1，+∞）上遞減，
即有0＜a＜1，
對于任意實(shí)數(shù)x₁＞0，x₂＞0，
$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]-f（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$-1）
=$\frac{1}{2}$（log_ax₁+log_ax₂）-log_a $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$
=log_a $\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$-log_a $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，
由于 $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$≥$\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$，
又0＜a＜1，
則log_a $\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$≥log_a $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，
則有$\frac{1}{2}$[f（x₁-1）+f（x₂-1）]≥f（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$-1），
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂取得等號．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．