Question

某小區(qū)規(guī)劃一塊周長(zhǎng)為2a（a為正常數(shù)）的矩形停車(chē)場(chǎng)，其中如圖所示的直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域．且∠PAC=∠CAB．設(shè)矩形的長(zhǎng)AB=x，AB＞AD
（1）求線段DP的長(zhǎng)關(guān)于x的函數(shù)l（x）表達(dá)式并指出定義域；
（2）應(yīng)如何規(guī)劃矩形的長(zhǎng)AB，使得綠化面積最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中矩形停車(chē)場(chǎng)的周長(zhǎng)為2a（a為正常數(shù)），直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域．且∠PAC=∠CAB．我們易得tan2α=tan∠APD=

AD

DP

，進(jìn)而根據(jù)矩形的長(zhǎng)AB=x，AB＞AD，可求出線段DP的長(zhǎng)關(guān)于x的函數(shù)l（x）表達(dá)式并指出定義域；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，我們易求出綠化區(qū)域即直角三角形ADP面積的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式，我們可求出直角三角形ADP面積取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的AB的長(zhǎng)，即可得到答案．

解答：解：（1）AD=BC=a-x，由AB＞AD，得

a

2

＜x＜a(a＞0)
設(shè)∠BAC=∠CAP=α，tanα=

a-x

x

，因?yàn)椤螦PD=2α，tan2α=

AD

DP

=

a-x

DP

，
得DP=

2ax-a2

2x

，
所以   l(x)=

2ax-a2

2x

，定義域?yàn)?span id="bdjbt7x" class="MathJye">(

a

2

，a)-----------------------------（7分）
（2）S△ADP=

1

2

AD•DP=

a

4

(3a-

a2

x

-2x)---------------------------------（9分）
因?yàn)?span id="dff7bld" class="MathJye">

a2

x

+2x≥2a

2

，僅當(dāng)x=

2

2

a時(shí)取等號(hào)．又

2

2

a∈(

a

2

，a)
所以(S△ADP)max=

a2

4

(3-2

2

)，此時(shí)AB=

2

2

a-------------------------------（13分）
答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為

2

2

a時(shí)，綠化面積最大．----------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，基本不等式，其中（1）中根據(jù)已知條件判斷出tan2α=tan∠APD=

AD

DP

，是解答的關(guān)鍵，而（2）中關(guān)鍵是求出綠化面積S△ADP=

1

2

AD•DP=

a

4

(3a-

a2

x

-2x)的表達(dá)式，為基本不等式的使用創(chuàng)造條件．