Question

某小區(qū)規(guī)劃一塊周長為2a（a為正常數(shù)）的矩形停車場，其中如圖所示的直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域．且∠PAC=∠CAB．設(shè)矩形的長AB=x，AB＞AD
（1）求線段DP的長關(guān)于x的函數(shù)l（x）表達(dá)式并指出定義域；
（2）應(yīng)如何規(guī)劃矩形的長AB，使得綠化面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中矩形停車場的周長為2a（a為正常數(shù)），直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域．且∠PAC=∠CAB．我們易得，進(jìn)而根據(jù)矩形的長AB=x，AB＞AD，可求出線段DP的長關(guān)于x的函數(shù)l（x）表達(dá)式并指出定義域；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，我們易求出綠化區(qū)域即直角三角形ADP面積的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式，我們可求出直角三角形ADP面積取最大值時(shí)，對應(yīng)的AB的長，即可得到答案．
解答：解：（1）AD=BC=a-x，由AB＞AD，得
設(shè)∠BAC=∠CAP=α，，因?yàn)椤螦PD=2α，，
得，
所以   ，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224709129550264/SYS201311012247091295502016_DA/6.png">-----------------------------（7分）
（2）---------------------------------（9分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224709129550264/SYS201311012247091295502016_DA/8.png">，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又∈
所以，此時(shí)AB=-------------------------------（13分）
答：當(dāng)矩形的長為時(shí)，綠化面積最大．----------------------------------------（14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，基本不等式，其中（1）中根據(jù)已知條件判斷出，是解答的關(guān)鍵，而（2）中關(guān)鍵是求出綠化面積的表達(dá)式，為基本不等式的使用創(chuàng)造條件．