Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，的離心率e=

5

5

，以兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)B₁，B₂為頂點(diǎn)的四邊形F₁B₁F₂B₂的面積為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（4，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)落在F₁B₁F₂B₂四邊形內(nèi)（含邊界），求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得

c a = 5 5 2bc=4 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），由

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-4)

，得（5k²+4）x²-40k²x+80k²-20=0，由此利用根的判別式、直線方程的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，能求出直線l斜率的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得

c a = 5 5 2bc=4 a2=b2+c2

，
解得a=

5

，b=2，c=1，
∴橢圓方程為：

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
由

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-4)

，得（5k²+4）x²-40k²x+80k²-20=0，
∵直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，
∴△=1600k⁴-4（5k²+4）（80k²-20）＞0，
解得-

2 11

11

＜k＜

2 11

11

，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M（x₀，y₀），則x1+x2=

40k2

5k2+4

，
∴x0=

20k2

5k2+4

≥0，
∴點(diǎn)M在y軸右側(cè)，
直線B₂F₂方程為y=-2x+2，直線B₁F₂的方程為y=2x-2，
要使點(diǎn)M在四邊形內(nèi)部，（包含邊界），
則

y0≤-2x0+2 y0≥2x0-2

，
∴

-16 5k2+4 ≤-2• 20k2 5k2+4 +2 -16k 5k2+4 ≥2• 20k2 5k2+4 -2

，
化簡(jiǎn)，得

15k2-8k-4≤0 15k2+8k-4≤0

，
解得

4-2 19

15

≤k≤

-4+2 19

15

，②
由①②，得：

4-2 19

15

≤k≤

-4+2 19

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．