Question

（1）已知，求sin⁴x+cos⁴x的值；
（2）已知，0＜x＜π，求cosx+2sinx的值．

Answer 1

解：（1）由已知，
兩邊平方得，，（2分）．
sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=；（5分）

（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/202014.png' />，①
兩邊平方得，＜0，（7分）
所以，（9分）
由0＜x＜π，sinxcosx＜0，得到＜x＜π，
于是sinx＞0，cosx＜0，，②（11分）
由①②得sinx=，cosx=-，（13分）
所以cosx+2sinx=-+=-．（14分）
分析：（1）把已知的等式兩邊平方，左邊利用完全平方公式展開后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinxcosx的值，然后把所求的式子加上2sin²xcos²x，且減去2sin²xcos²x保持與原式相等，配方為完全平方式后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，并把求出的sinxcosx的值代入即可求出值；
（2）把已知的等式兩邊平方，左邊利用完全平方公式展開后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出2sinxcosx的值，然后利用完全平方公式把（sinx-cosx）²展開后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，并把求出的2sinxcosx的值代入可求出（sinx-cosx）²的值，根據(jù)x的范圍及sinxcosx小于0，得出x為鈍角，故sinx-cosx大于0，開方可求出sinx-cosx的值，與已知的等式聯(lián)立即可求出sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入所求的式子即可求出值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的應(yīng)用，以及整體代入思想的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．