Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F₂作垂直于x軸的直線MF₂交橢圓于M，設(shè)|MF₂|=d．
（1）證明：d，b，a 成等比數(shù)列；
（2）若M的坐標(biāo)為（），求橢圓C的方程；
（3）在（2）的橢圓中，過(guò)F₁的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，y），其中|y|=d，知，d=b•，由此能證明d，b，a成等比數(shù)列．
（2）由條件知，知，由此能求出橢圓方程．
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-，-1）、B（-，1），所以． 設(shè)直線l的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得再由韋達(dá)定理能夠推導(dǎo)出直線l的方程．
解答：解：（1）證明：由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，y），其中|y|=d，
∴，d=b•，…（3分）
∴，即d，b，a成等比數(shù)列．   …（4分）
（2）由條件知，∴，…（6分）
∴，
∴橢圓方程為，…（8分）
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-，-1）、B（-，1），所以．  …（9分）
設(shè)直線l的方程為y=k（x+），
代入橢圓方程得．…（11分）
所以…（13分）
由，得x₁x₂+y₁y₂=0，
，
代入得，解得k=．
所以直線l的方程為y=±．     …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．