已知橢圓Ω：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2
3
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，
3
2
）．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）A是橢圓Ω與y軸正半軸的交點(diǎn)，橢圓Ω上是否存在兩點(diǎn)M、N，使得△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由橢圓的a，b，c的關(guān)系和已知點(diǎn)在橢圓上，解方程即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)AM所在直線的方程為y=kx+1，不妨設(shè)k＞0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，解方程求得M的坐標(biāo)，同樣求得N的坐標(biāo)，由AM=AN，求得k，討論k，即可判斷符合條件的三角形的個(gè)數(shù)．
解答： 解：（Ⅰ）由題意可得，
a2-b2=3
1
a2
+
3
4b2
=1
解得a2=4，b2=1，
所以橢圓Ω的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于x軸，
故可設(shè)AM所在直線的方程為y=kx+1，不妨設(shè)k＞0，
則直線AM所在的方程為y=-
1
k
x+1．
聯(lián)立方程
y=kx+1
x2+4y2=4
，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx=0，
解得xM=-
8k
1+4k2
，
將xM=-
8k
1+4k2
，代入y=kx+1可得，yM=
-8k2
1+4k2
+1，
故點(diǎn)M(-
8k
1+4k2
，
-8k2
1+4k2
+1)．
所以|AM|=
(-
8k
1+4k2
)2+(-
8k2
1+4k2
)2
=
8k
1+k2
1+4k2
．
同理可得|AN|=
8
1+k2
4+k 2
，由|AM|=|AN|，得k（4+k2）=1+4k2，
所以k3-4k2+4k-1=0，則（k-1）（k2-3k+1）=0，解得k=1或k=
3±
5
2
．
當(dāng)AM斜率k=1時(shí)，AN斜率-1；當(dāng)AM斜率k=
3+
5
2
時(shí)，AN斜率
-3+
5
2
；
當(dāng)AM斜率k=
3-
5
2
時(shí)，AN斜率
-3-
5
2
．
綜上所述，符合條件的三角形有3個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，解交點(diǎn)，考查兩直線垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F（2，0）．
（1）求拋物線方程；
（2）若拋物線的弦AB，M（5，2）為中點(diǎn)，求直線AB的方程及|AB|的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求下列各式的植：
（Ⅰ）(
1
4
)
1
2
+2-3×[(-2)3]
2
3
+(
2
-1)0；
（Ⅱ）log327+lg4+lg25+10lg2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合M={x＜1}，N={x|x＞0}，則M∩N等于（　　）
A、{x|x＜1}
B、{x|x＞1}
C、{x|0＜x＜1}
D、∅

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（不等式選做題）若不等式|x+2|+|x-3|≥a+
4
a-1
對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1=-23，Sn≥0的最小正整數(shù)解為n=11，則公差d的取值范圍是（　�。�
A、（
23
10
，
23
9
]
B、[
23
10
，
23
9
）
C、（
23
5
，
46
9
]
D、[
23
5
，
46
9
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（3-2a）lnx+
2
x
+3ax，a∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=
3
2
時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間[
2
3
，4+n+
1
n
]上總有m+2個(gè)數(shù)使得f（a1）+f（a2）+f（a3）+…f（an）＜f（an+1）+f（an+2）成立，試問(wèn)：正整數(shù)m是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，且對(duì)于任意的n∈N*都有an+1=an+a1+n，則
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2014
等于（　�。�
A、
4026
2015
B、
4028
2015
C、
2013
2014
D、
2014
2015

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

關(guān)于x的方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0有五個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍
 
．

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